jueves, 1 de diciembre de 2011



COSMOLOGÍA Y TEOLOGÍA (IV)

 Carlos Blank

                                                    
                                   

El universo no sólo es más extraño de lo que imaginamos,
sino de lo que podremos imaginar.
ARTHUR EDDINGTON           

Introducción
La discusión acerca de si el universo es finito o infinito se remonta al menos a los filósofos presocráticos, así mismo  la discusión acerca de si existe un universo o múltiples universos o la posibilidad de que exista un número infinito de universos infinitos. Claro está que podemos decir que ha sido solamente a partir del Siglo XX que esta discusión se ha planteado en términos científicos, vale decir, teóricos y experimentales a la vez, y no en base a argumentos lógicos a priori o en términos filosóficos o religiosos. La posibilidad de discutir estos temas desde un punto de vista estrictamente científico es una posibilidad real que solamente puede existe a partir de la masa de datos con que la astronomía y la cosmología cuentan hoy en día. Aunque sólo sea por esta razón es indudable que vivimos en una época privilegiada.  Esto no quiere decir, como veremos, que estas cuestiones estén totalmente zanjadas o fuera de toda discusión. Ni tampoco que las cuestiones filosóficas o religiosas sean completamente irrelevantes en este dominio.
A pesar de que la data de que disponemos hoy en día es impresionante y desafía a las mentes más imaginativas y creativas, esta data no representa, según algunos estimados, más que el 10% o 20 % del universo cognoscible. Obviamente este dato nos debe hacer muy humildes a la hora de pretender establecer una teoría definitiva sobre el universo. A medida que ese conocimiento ha ido aumentando exponencialmente en las últimas generaciones, el universo se ha ido mostrando no sólo más extraño de lo que imaginamos, sino de lo que podríamos imaginar, como dijo en  alguna oportunidad el gran astrónomo inglés Sir Arthur Eddington.
Los nuevos telescopios[i] nos revelan cada vez distintos tipos de estrellas, de estrellas de neutrones como los pulsares o las cefeidas, de estrellas duales[ii], por ejemplo,  distintas formas de galaxias, espirales o elípticas, los quásares, por ejemplo, de cúmulos y supercúmulos de galaxias, incluso grandes murallas de supercúmulos[iii], nos revelan, en fin, un complejo entramado o red de galaxias unidas por la misteriosa materia oscura, aunque la mayoría de ellas  se estén alejando entre sí a una velocidad cada vez mayor por la también misteriosa energía oscura[iv]. La Vía Láctea pertenece, junto con la galaxia Andrómeda y otras, al vecindario local. De hecho, en lugar de existir una velocidad de recesión o de alejamiento constante, estas dos galaxias se van acercando entre sí y llegarán a fusionarse en algún momento -todavía faltan afortunadamente unos 5.000 millones de años- para formar una nueva galaxia como “Lacdrómeda”.  Todo esto, que puede sonar a guión para una película catastrófica de ciencia-ficción al mejor estilo hollywoodense, son simplemente hechos o datos que podemos predecir, ceteris paribus, con un margen despreciable de error acerca del futuro distante, y bien distante, por cierto. Si a todo ello añadimos la pléyade de partículas que se crean en los aceleradores de partículas, la complejidad del universo se hace más que evidente.
Como veremos más adelante, si bien existe un consenso generalizado alrededor de la teoría del big-bang y de la teoría inflacionaria para explicar el origen del universo hace más de 13.000 millones años, no existe igual consenso acerca del final de este universo o el modo cómo haya de terminar. Todavía menos encontramos un consenso acerca de si ese big-bang o múltiples big-bangs nos ponen en presencia de un Ser Superior que diseñase de antemano este universo o multiuniverso para que nosotros tuviésemos cabida en él.  





Moviendo el techo del universo: el paso al universo infinito.
La burbuja del mundo ha de hincharse antes de explotar.
ALEXANDER KOYRÉ

Como ya sabemos, la idea de un universo finito centrado en la Tierra inmóvil dominó la cultura occidental durante más de 2000 años. Para que el modelo pudiese “salvar los fenómenos” fue necesario recurrir a una serie de añadidos ad hoc,  como el complejo sistema de epiciclos y el punto ecuante de Ptolomeo. El sistema era tan complejo que Alfonso X El Sabio dijo que hubiese asesorado a Dios para crear un modelo más simple del universo. Buscando esa simplicidad, lo que logró sólo de manera parcial, Copérnico resucitó el viejo modelo heliocéntrico de Aristarco de Samos, sin saber que ese “pequeño” cambio de poner al Sol en el centro destruiría el paradigma aristotélico-ptolemaico y establecería las bases de una nueva astronomía y de una nueva física.
El universo de Aristóteles era un universo espacialmente finito y acotado, con una esfera móvil de estrellas fijas. Aunque para él el universo era eterno temporalmente, la finitud del espacio era una premisa indispensable de su física, pues la noción de un espacio infinito destruye la noción de lugar natural, más aun, la noción misma de lugar. En un universo así no habría direcciones privilegiadas y, por lo tanto, tampoco habría razones para moverse en absoluto. De igual modo rechazaba la existencia del vacío, pues, al carecer de resistencia,  la velocidad de los objetos sería infinita e instantánea, lo que le parecía imposible y absurdo[v]. El sistema copernicano explica el movimiento aparente de la esfera de las estrellas fijas mediante el movimiento de la Tierra, pero deja intacto el concepto de esfera de estrellas fijas. Vale decir, el universo es finito y la distancia a las estrellas fijas es constante. Se trata, pues, de un universo finito.[vi]

Como todo lo demás, o casi todo lo demás, la concepción de la infinitud del universo se origina con los griegos, y no cabe duda de que las especulaciones de los pensadores griegos sobre la infinitud del espacio y la multiplicidad de los mundos ha desempeñado un papel importante en la historia de la que nos vamos a ocupar.[vii]

Ya Arquímedes había advertido que el sistema de Aristarco implicaba un cambio fundamental en la dimensión del universo y calculó el número de granos de arena de ese universo en 1063, lo que traducido a partículas modernas coincide asombrosamente con el número de Eddington de protones y electrones: 1,57x1079 o 1080. Obviamente ya antes muchos pensadores habían coqueteado con la idea de que el universo fuese inmensamente grande aunque finito. La idea de que el universo fuese infinito y de que hubiese un número infinito o cuasi-infinito de  universos infinitos o cuasi-infinitos no era extraña tampoco a los griegos antiguos. Contrariamente a lo que suele pensarse, la mentalidad griega no era refractaria a la comprensión  del infinito. En realidad, se ocuparon bastante de ello y algunos, como los atomistas, lo convirtieron en la idea central de todo su sistema. Incluso el rechazo al infinito actual en Aristóteles debe ser entendido cum grano salis, pues hay también importantes excepciones, como el Primer Motor o Motor Inmóvil.
Sin duda, el trabajo más exhaustivo y penetrante sobre el tema es la extensa monografía de Rodolfo Mondolfo, El infinito en el pensamiento de la antigüedad clásica (Ediciones  Imán, Buenos Aires, 1952), donde con gran erudición se analizan las distintas teorías griegas clásicas sobre la infinitud y el vacío. En esta obra, sin duda monumental, se corrige la visión clásica tradicional de la supuesta repugnancia de los griegos a la comprensión del infinito y se destaca la deuda que el pensamiento moderno tiene con relación a este tema. El infinito no está relegado al mero espíritu dionisíaco sino que está también en todo el centro del espíritu apolíneo, en el centro de las discusiones cosmológicas y éticas. El espíritu griego es un espíritu poliédrico.
La otra obra imprescindible para analizar el tema es  la versión abreviada de una obra monumental del pensamiento cosmológico, desde Platón hasta Copérnico, emprendida por  Pierre Duhem  y que quedó inconclusa debido a su muerte prematura,  nos referimos a Medieval Cosmology. Theories of Infinity, Place, Time, Void, and the Plurality of Worlds (The University Chicago Press, Chicago, 1985,).  En ella se toman en cuenta los importantes análisis de pensadores de la escolástica tardía, donde se produce un inusitado interés por la naturaleza y  se revisan las tesis aristotélicas básicas sobre el cosmos. Por cierto, Mondolfo y Duhem coinciden a menudo en afirmar  que muchos de los argumentos contra la cosmología aristotélica dejan mucho que desear y están muy por debajo del  rigor lógico del Estagirita o, para utilizar una expresión de Feyerabend, no se le puede considerar “un perro muerto”.
 También Arthur Koestler, Alexander Koyré y Thomas Kuhn, han destacado el carácter conservador de las ideas de Copérnico frente a muchos de sus predecesores y contemporáneos, el carácter esencialmente aristotélico del universo copernicano. Para Koestler,  el modelo copernicano es tímido, de poca originalidad e imaginación, y está todavía atado fuertemente al peso de la tradición aristotélica y eclesiástica. Para él sólo una mente conservadora como la de Copérnico podía pensar posible reconciliar el modelo de la física de Aristóteles con un universo heliocéntrico[viii].
Para Koyré, en una interpretación más caritativa, él ya hizo suficiente al desplazar a la Tierra del centro del universo y detener el movimiento de las estrellas fijas, sería mucho pedirle que diese el paso hacia un universo infinito[ix].  A menudo se le atribuye a Nicolás de Cusa ese  paso hacia la afirmación de un universo infinito, hacia una concepción que dejase atrás la cosmología antigua y medieval dominante, anticipando la visión cosmológica moderna. Con relación a este punto Koyré señala que “no podemos menos de admirar la audacia y profundidad  de las concepciones cosmológicas” del Cusano, aunque añade:

Sin embargo, debemos resistir esta tentación. De hecho Nicolás de Cusa no afirma nada por el estilo. Cree en la existencia de las esferas celestes y en su movimiento, siendo el de las estrellas fijas el más rápido de todos, así como en la existencia de una región central del universo, en torno a la cual se mueve como un todo, confiriendo ese movimiento a todas sus partes. No asigna un movimiento de rotación a los planetas; ni siquiera a nuestra Tierra. Además, en profunda oposición a la inspiración fundamental de los fundadores de la ciencia moderna y de la moderna visión del mundo quienes, correcta o incorrectamente, trataron de afirmar la panarquía de las matemáticas, niega la posibilidad misma del tratamiento matemático de la Naturaleza.[x]



El primero que da el paso decisivo hacia un universo abierto será, según Koyré, Thomas Digges,  primer divulgador del modelo copernicano en Gran Bretaña, extendiendo el techo de las estrellas fijas, aunque  “coloca sus estrellas en un cielo teológico y no en un firmamento astronómico.”[xi] Por eso, en realidad, “fue Bruno quien nos ha presentado por vez primera el esquema o el boceto de la cosmología dominante durante los dos últimos siglos.”[xii] Mientras Nicolás de Cusa se conforma con “la imposibilidad de asignar límites al mundo, Giordano Bruno afirma con regodeo su infinitud.”[xiii] Pero Bruno no sólo afirma la posibilidad de la creación de un universo infinito por Dios, o incluso de un número infinito de ellos, sino que afirma que ello no podía ser de otro modo dada la omnipotencia divina, pues la “creación divina, para ser perfecta y digna del Creador, debe contener todo lo que es posible, es decir, innumerables seres individuales, innumerables tierras, innumerables astros y soles.”[xiv] Pero a pesar de todo lo dicho y de reconocer la posible influencia retardada de Bruno en la mentalidad moderna, la suya dista bastante todavía de ser una mentalidad moderna. El siguiente párrafo es lo suficientemente elocuente como para albergar dudas al respecto:

Giordano Bruno, lamento decirlo, no es muy buen filósofo. La fusión de Nicolás de Cusa con Lucrecio no produce una mezcla muy consistente y aunque, como he dicho, su tratamiento de las objeciones clásicas contra el movimiento de la Tierra es bastante bueno, el mejor que hayan recibido antes de Galileo, con todo es un científico muy pobre, no entiende las matemáticas y su concepción de los movimientos celestes resulta un tanto extraña. En realidad, el bosquejo que he hecho de su cosmología resulta un tanto unilateral y no es totalmente completo. De hecho, la visión del mundo de Bruno es vitalista, mágica; sus planetas son seres animados que se mueven libremente a través del espacio según su propio entender, a la manera de los de Platón y Pattrizzi. La de Bruno no es en absoluto una mentalidad moderna. Sin embargo, su concepción es tan poderosa y profética, tan razonable y poética que no podemos menos de admirarla a ella y a su autor. Además, ha influido, al menos en sus aspectos formales, tan profundamente sobre la ciencia y la filosofía modernas que no podemos menos de asignar a Bruno un lugar muy importante en la historia intelectual humana.[xv] 

En el  tortuoso camino hacia el universo infinito moderno no podemos dejar de mencionar a Johannes Kepler. Fue él, sin duda, el que dio al universo iniciado por Copérnico su más acabada expresión y lo deslastró de sus remanentes aristotélicos y ptolemaicos. Se deshizo de los epiciclos, del movimiento circular perfecto y uniforme, se deshizo incluso, malgré lui, de los cinco poliedros regulares pitagóricos y platónicos que tanto amaba, desmontó el sistema dual de su tiránico mentor Tycho Brahe,  y tuvo que poner al Sol en una de los focos de una elipse,  en cuya órbita los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales, más rápido cuando están en más cerca –radio menor-,  más lentamente cuando se alejan –radio mayor. Las leyes de Kepler hacían que el reloj cósmico funcionase con precisión matemática. Se pasa del mundo del “más o menos” al universo de la precisión, como señala Koyré. Sin embargo, Kepler tiene buenas razones para rechazar el carácter infinito del universo. Razones metafísicas y religiosas, pero científicas también, entre las cuales se encuentra la imposibilidad de determinar la distancia de los objetos en un universo infinito, lo que haría a la astronomía simplemente imposible.  A la postre, las razones por las cuales rechaza la infinitud del universo son las mismas de Aristóteles.

Así pues, hemos de admitir que Johannes Kepler, el gran pensador verdaderamente revolucionario, estaba, no obstante, ligado a la tradición. En último análisis, Kepler sigue siendo un aristotélico, si no por lo que atañe a la ciencia, sí en lo que respecta a su concepción del ser y del movimiento.[xvi]  

El paso siguiente en este proceso de infinitización será dado, aunque con cierta ambigüedad, por Galileo Galilei. Siguiendo la tradición de Niccolò Fontana, apodado Tartaglia –el tartamudo- y  Giovanni Battista Benedetti, Galileo será el verdadero fundador de la nueva física matemática y el más implacable crítico de la física aristotélica y del cosmos aristotélico. Posiblemente la imagen de oportunista y propagandista que han destacado Koestler y Feyerabend le haga justicia. Posiblemente también su fama de terco y presuntuoso, su realismo ingenuo e impenitente, en contraste con la mayor cautela epistemológica que aconsejaba el cardenal jesuíta Bellarmino. Pero es posible que estas características sean necesarias también para que el nuevo espíritu de los tiempos termine imponiéndose. Debemos comprender las ideas de un pensador en el contexto en el cual fueron emitidas y en el caso de  Galileo esto es especialmente cierto, como también en el caso de Descartes que veremos a continuación. Tras ese aparente orden racional que emerge en el Siglo XVII, hay una atmósfera bastante enrarecida de intolerancia y “cacería de brujas”. Ese siglo comenzó precisamente con la ejecución de Giordano Bruno, seguida de la Guerra de los Treinta Años (1618-48) entre católicos y protestantes, lo que hizo que la Inquisición de lado y lado se reforzase. Lutero era más crítico de Copérnico que la propia Iglesia Católica, la cual fue bastante indulgente al principio, al punto de que las ideas de Copérnico fueron llevadas por los propios jesuitas a China. Se dice que Kepler perdió gran parte de sus bienes y tuvo que hacer gala de su ingenio para poder salvar a su madre de la hoguera protestante.
No es de extrañar, entonces, que en cuestiones que pudiesen molestar las autoridades eclesiales,  Galileo, quien por lo demás era un creyente católico y tenía una hija monja, tuviese que hacer también gala de su gran talento dialéctico y disfrazar a menudo sus opiniones, por más seguro que estuviese de ellas, por más seguro que estuviese de que en las cuestiones de la naturaleza es la ciencia y no la Biblia la autoridad. A pesar de haber tenido un trato bastante condescendiente por parte del Santo Oficio y de ser amigo del Papa, Galileo fue obligado finalmente a abjurar o retractarse de sus creencias y se mantuvo bajo arresto domiciliario en las afueras de Florencia hasta su muerte en 1642, el mismo año en que naciese el genio que completaría la obra iniciada por Galileo y Kepler, nos referimos a Isaac Newton. Así pues,  es perfectamente comprensible que  con relación a la infinitud del universo fuese bastante cauteloso o, incluso, bastante ambiguo.

Ciertamente, en el debate acerca de la finitud o infinitud del Universo, el gran florentino, a quien la ciencia moderna debe quizás más que a cualquier otra persona, se abstiene de tomar partido. Nunca dice si cree una u otra cosa. Parece no haber llegado a una conclusión sobre el asunto e incluso parece considerar la cuestión como insoluble, aunque se inclina hacia la infinitud. [xvii]

Posiblemente, dice Koyré,  que esto se deba simplemente a su falta de interés por las cuestiones cosmológicas generales y por la mecánica celeste. Se sabe que nunca respondió a Kepler, quien estaba interesado en saber su opinión sobre sus leyes. De allí que no tenga nada de descabellado el siguiente juicio de la posición de Galileo.

Galileo no aceptaba la posibilidad de órbitas no circulares, ni estaba dispuesto  a considerar un aumento del tamaño del universo. Esta última negativa significaba que se adhería a la idea de un mundo bastante pequeño para que el desplazamiento paraláctico de las estrellas distantes fuera perceptible si la tierra se movía. Absorto en refutar a Tycho, no advirtió que defendía un mundo en donde no había espacio para la teoría heliocéntrica, porque si las estrellas no estaban a enorme distancia, la ausencia de paralaje anual se tornaba una poderosa justificación de la inmovilidad  de la tierra.[xviii]




Será  Descartes el que da el siguiente paso decisivo para mover el techo del universo y haga explotar esa burbuja en la cual estaba todavía encerrado. Aunque la posición de Descartes es mucho más clara y contundente que la de Galileo, no deja de presentar ciertas ambivalencias o reticencias. Para Descartes lo único positivamente infinito es Dios. Aunque Dios ha creado el mundo por un acto de su libre voluntad, para Descartes es imposible y además completamente superfluo tratar de conocer los designios de Dios, conocer los propósitos que Dios tenía en mente al crear el universo. Con Descartes se completa esa geometrización del universo, el proceso de homogenización y matematización del mundo, donde las cualidades sensibles desaparecen y así mismo cualquier idea de finalidad. Se trata, por cierto de un espacio matemático continuo y denso, donde tampoco hay vacío. La materia es coextensiva al espacio, espacio y materia son lo mismo, no hay espacio entre las cosas, sino cosas en relación a otras cosas. Lo único que podemos afirmar con seguridad del mundo es que tiene una extensión tridimensional, está lleno de vórtices o remolinos.[xix] Como han señalado diversos autores, la idea de Descartes parece contra-intuitiva, pues si bien es imposible imaginar materia sin extensión, sin espacio, sí es posible imaginarse un espacio vacío, el espacio como receptáculo donde están las cosas o entre las cosas. Pero no es este el punto que nos interesa, lo que nos interesa destacar es que la posición de Descartes es el ejemplo típico de una idea equivocada que nos lleva en la dirección correcta, pues para defender su teoría de los vórtices y  la identidad de la materia y la extensión,  Descartes debe defender la infinitud del universo o, mejor dicho, su carácter indefinido.

La segunda consecuencia importante de la identificación de extensión y materia consiste en el rechazo no sólo de la finitud y limitación del espacio, sino también del mundo material y real. Asignarle límites no sólo es falso y aun absurdo, sino también contradictorio. No podemos postular un límite sin trascenderlo por el mero hecho de postularlo. Hemos de reconocer, por tanto, que el mundo real es infinito o, más bien, indefinido (pues Descartes se niega a emplear aquél término en conexión con el mundo).[xx]

Por primera vez el problema del techo del mundo, de la distancia de las estrellas fijas, deja de ser un problema sobre el que debamos discutir verbalmente, y pasa a ser  simplemente un problema técnico de observación y cálculo. La idea de infinitud desempeña un papel central en el sistema cartesiano, “tan importante que se puede considerar que el cartesianismo se basa totalmente en esa idea.”[xxi] La razón por la cual Descartes utiliza el término de infinitud para referirse solamente a Dios y usa el de indefinido para referirse al mundo puede comprenderse a partir de su sistema filosófico. Para Descartes, la única substancia real y positivamente infinita es la mente de Dios, las otras substancias son finitas, pues derivan su existencia de otro ser. En especial,  la mente humana, aunque tiene sembrada en su seno la idea de infinitud, y entiende esta idea en contraste con la contingencia de su propia existencia, es incapaz de comprender esta infinitud en todo su alcance y profundidad. Pareciera entonces que Descartes reconociese la infinitud en acto sólo en Dios, mientras que hablase de una infinitud puramente potencial del mundo.

No cabe duda de que Descartes está en lo cierto al pretender mantener la distinción entre la infinitud “intensiva” de Dios, que no sólo excluye todo límite, sino que además impide toda multiplicidad, división y número, y el mero carácter indefinido y sin fin del espacio o de la sucesión de los números que necesariamente los incluyen y presuponen. Además, esta distinción es completamente tradicional y hemos visto que la sostenía no sólo Nicolás de Cusa, sino también Bruno.[xxii] 

Aunque no es descartable que esta distinción se hiciese para aplacar la ira de algunos teólogos, dado los tiempos de intolerancia religiosa de ese entonces, lo cierto es que está en perfecto acuerdo con su propia filosofía. Será labor de otros pensadores la divinización e infinitización definitiva del espacio y el tiempo, lo que finalmente llevará a unas de las más famosas polémicas de la historia de la ciencia, a un verdadero conflicto de titanes, entre Isaac Newton – a través de su discípulo Samuel Clarke - y Gottfried Leibniz, conflicto que Koyré ha sugerentemente denominado como el conflicto entre “el Dios de los días laborales y el Dios del Sabath”. El reloj cósmico nos habla de un Dios-relojero, pero las facultades y competencias de ese relojero cósmico son motivo de una agria discusión, como también aquella que tuvieron acerca de la prioridad e independencia en la invención del cálculo infinitesimal. El universo se transforma en una epifanía de Dios, en teodicea, enfrentando así a las dos mentes más prodigiosas del Siglo XVII, “el siglo de los genios” o “el siglo del genio”  -“the century of genius”- , como lo calificó Whitehead. 


[i] Hoy en día el telescopio terrestre más potente está en el desierto de Atacama en Chile. Obviamente también debemos tomar en cuenta los telescopios espaciales, como el Hubble y el Kepler,   y los modernos radiotelescopios, que pueden suministrarnos informaciones acerca de un universo a distancias inimaginables hace apenas unos años. Aunque la idea de que podamos observar el instante del big-bang o de la creación es algo que mantiene toda su fascinación todavía.
[ii] Dependiendo de la masa de una estrella ellas pueden evolucionar hacia una supernova, un agujero negro, una estrella de neutrones, una gigante roja, una enana blanca o una enana negra al enfriarse completamente. El Sol no tiene la masa suficiente para estallar como una supernova y se convertirá primero en una gigante roja y terminará como una enana negra. Aunque la vida promedio de una estrella se mida en miles de millones de años, su colapso final, su muerte térmica, es inevitable.
[iii]  Así se habla de la “Gran Muralla” para referirse a un conjunto de galaxias a más de 500 millones de años-luz de la Tierra, de 200 millones de años-luz de ancho y 15 millones de años luz de profundidad. También se habla de la Gran Muralla de Sloam, ubicada a mil millones de años luz de la Tierra y que tiene una extensión de 1.370 millones de años luz, por lo que se dice que es el objeto más grande del universo detectado hasta el momento. Nada de extraño tiene que a la vuelta de unos años se detecte otro que duplique o triplique éste, y así sucesivamente. Aunque el universo, suponiendo que exista sólo uno, sea posiblemente finito, es innegable que sus dimensiones son inmensas y hacen aparecer a nuestra Vía Láctea como un puntito insignificante en este vastísimo universo. Fue Kant posiblemente el primero que planteó que estas nebulosas de estrellas fuesen otras galaxias o universos-isla, perteneciese a nuevas galaxias en formación.  
[iv] Sin caer en el virus de “precursionitis”, de encontrar precursores por doquier y de extrapolar la mente moderna en el pasado, vale la pena recordar las misteriosas fuerzas de amor y odio de las que ya hablaba Empédocles  y que se compensan mutuamente. Posiblemente la materia oscura que une y la energía oscura que aleja o separa no sean menos misteriosas hoy en día de lo que lo eran las fuerzas de Empédocles.
[v] En un instante la variación de la distancia y el tiempo tienden a 0, por lo que el cociente sería infinito o indeterminado. Se requirió la invención de un nuevo cálculo que pudiese trabajar con estos valores de la recta pendiente tangente en un punto, con valores diferenciales e infinitesimales, siendo la velocidad instantánea la derivada primera y la aceleración instantánea la derivada segunda.
[vi] Vale la pena destacar que Platón al final de su vida  apoyó la teoría de Filolao de que la distancia a las estrellas fijas es infinita y de que la Tierra tiene un movimiento de rotación. Fue posiblemente esta teoría la que revivieron algunos platónicos durante la Edad Media y el Renacimiento.
[vii] Alexander Koyré, Del mundo cerrado al universo infinito, Siglo XXI Editores, México, 1979, p. 9.
[viii]  Arthur Koestler, The Sleepwalkers. A History of Man’s Changing Vision of the Universe, p. 214.  Koestler reconoce la actitud mucho más revolucionaria de la escuela franciscana de Oxford o la ockhamiana de París, así como de pensadores como  Cusa, Peuerbach o Regiomontanus dentro de la tradición germana de Copérnico, aunque debe aceptar que fue Copérnico el que sentó definitivamente las bases del modelo heliocéntrico.
[ix] Cf. Ibid. p. 36.
[x] A. Koyré, op. cit. p. 22. Koyré considera a  Bruno, a Kepler y  al propio Descartes en una famosa carta a Chanutt (6 de junio de 1647) como la fuente de esa confusión: la de atribuir al Cusano la visión de un universo infinito. Aunque el Cusano niega la existencia de límites en el universo “evita tan cuidadosa y continuamente, como el propio Descartes, la atribución al universo del calificativo ‘infinito’ que reserva para Dios y sólo para él”, Ibid., p. 12.
[xi] Ibid. p. 40.
[xii] Ibid. p. 40.
[xiii] Ibid. p. 43.
[xiv] Ibid. p. 54. Podemos encontrar  argumentos similares, así como la posibilidad de que Dios crease el vacio, en pensadores del Siglo XIV. Véase Alexander Koyré,  “Le vide et l’éspace infini au XIV siécle”, en Études d’histoire de la Philosophie, Editions Gallimard, Paris, 1981. Como se sabe, será mérito de Georg Cantor la elaboración de un sistema de números transfinitos, es decir, de sucesiones de cardinales y ordinales infinitos. El infinito actual cobra vida, así como un grado infinito de grados infinitos, algo que seguramente hubiese asombrado al “finitista” Aristóteles.  
[xv] Del mundo cerrado al universo infinito, p. 55.
[xvi] Ibid. p. 86.
[xvii] Ibid. p. 93.
[xviii]  William R. Shea: La revolución intelectual de Galileo,  Editorial Ariel,  Barcelona, 1983,  p. 110
[xix] Esta teoría ya había sido sostenida por los antiguos griegos, Leucipo y Epicuro. Lo curioso es que esta teoría de los vórtices es totalmente cualitativa y está lejos del canon matemático que el propio Descartes exigiese como Mathesis Universalis.
[xx] Del mundo cerrado al universo infinito, p. 100.
[xxi] Ibid. p. 102.
[xxii] Ibid. pp. 114s.